čiji koeficijenti $a≠0, b, c$ su realni brojevi, ima dva rešenja (korena) koja mogu biti:
realni brojevi (jednaki ili različiti) ili par konjugovanih kompleksnih brojeva.
Kakvi će biti koreni, zavisiće od vrednosti
potkorene veličine (diskriminante) u formuli:
$x_{1,2}=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$
Ova formula pored četiri osnovne aritmetičke operacije uključuje i kvadratni koren.
To je upravo takva operacija kojom dobijamo "konstruktivne brojeve" (pod "konstruktivnim" podrazumevamo
dužinu (prave linije) segmenta koji može biti konstruisan pomoću lenjira i šestara, date jedinične duži).
Zapravo, Dekart je koristio ovaj primer da predstavi svoje ideje iz analitičke geometrije.
U starom prevodu (1910) klasične Teorije geometrijskih konstrukcija od August Adler-a (1863-1923) postoji generalizacija Dekartove konstrukcije.
Prateći Adler-a, u cilju rešavanja kvadratne jednačine, formira se izlomljena pravougla linija $ABCD,$ sa $AB=a, BC=b$ i $CD=c.$
Naravno, uzimamo u obzir znakove koeficijenata. Na primer za $c<0,$ segmenti $AB$ i $CD$ su sa različitih strana prave $BC:$
Iz toga sledi da je $DF=ax^2+bx+c,$ pa u slučaju $F=D,$ $x$ je prirodno rešenje kvadratne jednačine $ax^2+bx+c=0.$
Način za pronalaženje rešenja $x,$ kvadratne jednačine, je locirati tačku $X$ na pravoj $BC$ za koju je $\angle{AXD}=90° $
(checkbox u donjem desnom uglu prethodnog apleta) .
Kako geometrijski naći takvu tačku $X$ ?
Inače, ovo je i grafička implementacija Hornerove šeme i lako se proširuje na grafičku ocenu polinoma bilo kog stepena većeg od $1.$
Što se tiče geometrijske konstrukcije korena kvadratne jednačine, jednostavan način lociranja traženog položaja tačke $X$ tako da je $\angle{AXD}=90° ,$
je pomoću konstruisanja kruga nad $AD$ kao prečnikom. Tražena rešenja su onda presečne tačke kruga sa $BC$ (ako krug uopšte seče pravu $BC$).
Ovakva konstrukcija je rađena u donjem apletu, u čijem donjem levom uglu se nalaze tri klizača, od kojih svaki odgovara jednom od koeficijenata $a, b$ ili $c.$
