Линеарна диференцијална једначина
Дефиниција 4. Линеарна диференцијална једначина је једначина облика
$$y'+P(x)y=Q(x),$$
где су $P$ и $Q$ дате непрекидне фнкције независне променљиве $x$.
Опште решење линеарне диференцијалне једначине потражићемо у облику производа
$$y=u(x)v(x),$$
где су $u$ и $v$ засад неодређене функције. Тада је
$$y'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x),$$
па се полазна једначина може записати у облику
$$u'(x)v(x)+u(x)v'(x)+P(x)u(x)v(x)=Q(x),$$
односно,
$$\bigg(u'(x)+P(x)u(x)\bigg)v(x)+v'(x)u(x)=Q(x).$$
Функцију $u(x)$ можемо одредити тако да важи
$$u'(x)+P(x)u(x)=0,$$ односно, функцију $u(x)$ можемо добити решавањем ове једначине:
$$\frac{du}{dx}+P(x)u(x)=0 \quad \Rightarrow \quad \frac{du}{u}=-P(x)dx,$$
Интеграљењем последње једнакости добијамо:
$$ln {u}=-\int{P(x)dx} \quad \Rightarrow \quad u=C_{1}\cdot e^{(-\int{P(x)dx})}$$
Ако узмемо да је $C_1=1$, тада имамо да је
$$u=e^{(-\int{P(x)dx})}.$$
Заменом функције $u(x)$ у једначину
$$\underbrace{\bigg(u'(x)+P(x)u(x)\bigg)}_{0}v(x)+v'(x)u(x)=Q(x)$$ добијамо
$$v'(x)e^{(-\int{P(x)dx})}=Q(x)\quad \Rightarrow \quad v'(x)=Q(x)e^{\int{P(x)dx}},$$
одакле, после интеграције, следи
$$v(x)=C+\int{Q(x)\cdot e^{\int{P(x)dx}}dx},$$
где је $C$ произвољна константа.
Када смо одредили функције $u(x)$ и $v(x)$, добили смо и опште решење полазне линеарне диференцијалне једначине: