Хомогенa диференцијалнa једначинa
Дефиниција 2. Непрекидна реална функција $h$ две реалне променљиве $x$ и $y$ је хомогена функција степена $n$ на домену $D$ ако за све $(x,y) \ \in D$ важи
$$(\forall \lambda > 0) \quad h(\lambda x, \lambda y)= \lambda^n h(x,y).$$
Дефиниција 3. Диференцијална једначина
$$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$$
је хомогена диференцијална једначина на домену $D$ ако су функције $P=P(x,y)$ и $Q=Q(x,y)$ хомогене функције истог степена на $D$.
Теорема 1. Једначина
$$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$$
се може свести на облик
$$y'=f\Big(\frac{y}{x}\Big),$$
где је $f$ позната непрекидна функција на неком интервалу $(a,b).$
Овај једначина такође представља хомогену диференцијалну једначину првог реда.
Одредимо сада решење хомогене диференцијалне једначине првог реда $y'=f\Big(\frac{\displaystyle{y}}{\displaystyle{x}}\Big).$ Увешћемо нову функцију $u=u(x)$ на следећи начин: $$u=u(x)=\frac{y(x)}{x}\quad \Leftrightarrow\quad y(x)=x\cdot u(x).$$ Тада је $$y'(x)=u(x)+xu'(x).$$ Заменом $\ y'(x)=u(x)+xu'(x) \ $ у $\ y'=f\Big(\frac{\displaystyle{y}}{\displaystyle{x}}) \ $ добијамо једначину $$u+xu'=f\Big(\frac{xu}{x}\Big) \quad \Leftrightarrow \quad u+x\frac{du}{dx}=f(u)$$ која раздваја променљиве.
- Ако је на интервалу $(a,b)$, $f(u)-u \neq 0$, тада je $$\frac{dx}{x}=\frac{du}{f(u)-u},$$ па се решење једначине може написати у облику $$\int{\frac{dx}{x}}=\int{\frac{du}{f(u)-u}} \quad \Rightarrow \quad ln|x|=\int{\frac{du}{f(u)-u}}+C_1 \quad \Leftrightarrow \quad x=C \displaystyle{e^{\int{\frac{du}{f(u)-u}}}}.$$ После интеграције, потребно је функцију $u$ заменити са $\frac{\displaystyle{y}}{\displaystyle{x}}$.
- Ако за неко $u_0 \in (a,b)$ важи $f(u)-u=0$, тада је $y(x)=u_0x+C$ решење једначине $y'=f\Big(\frac{\displaystyle{y}}{\displaystyle{x}}\Big)$.
- Ако је $f(u)-u \equiv 0$, тада се једначина $y'=f(\frac{\displaystyle{y}}{\displaystyle{x}})$ своди на једначину $y'=\frac{\displaystyle{y}}{\displaystyle{x}}$ која раздваја променљиве.