Диференцијална једначина која раздваја променљиве
Дефиниција 1.
Диференцијална једначина која раздваја променљиве је једначина облика
$$y'=f(x)\cdot g(y)$$
где су функције $f$ и $g$ непрекидне функције респективно од $x$ и од $y$ на датим интервалима $[a,b]$ и $[c,d]$.
Ако је $g(y)\neq 0$, тада претходну једначину можемо записати у облику
$$\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx,$$
односно после интеграције као
$$\int{\frac{dy}{g(y)}}=\int {f(x)dx}.$$
Ако је за неко $y_0 \in [c,d]$ задовољено $g(y_0)=0$, тада се лако проверава да је права $y=y_0$ решење диференцијалне једначине $y'=f(x)g(y)$.
Једначина облика
$$F(x)G(y)dx+f(x)g(y)dy=0,$$
где су $\frac{\displaystyle{F(x)}}{\displaystyle{f(x)}}$ и $\frac{\displaystyle{g(y)}}{\displaystyle{G(y)}}$ непрекидне функције једне променљиве, је такође диференцијална једначина која раздваја променљиве.
Решење ове једначине се добија из релације
$$\int{\frac{F(x)}{f(x)}dx}=-\int{\frac{g(y)}{G(y)}dy}$$
након интеграције.
Ако су $a$ и $b$ решења једначина $f(x)=0$ и $G(y)=0$ респективно, тада су и $x=a$ и $y=b$ решења једначине $F(x)G(y)dx+f(x)g(y)dy=0$.
Једначина облика $$y'=f(ax+by+c), \quad a,b,c=const.$$ где је $f$ непрекидна на интервалу $(a,b)$ такође се може на диференцијалну једначину која раздваја променљиве.