Геометријска интерпретација решења
У овом делу ћемо видети како се решења диференцијалних једначина могу геометријски интерпретирати и како геометријски можемо формулисати Кошијев проблем.
Дефиниција 10. Нека је функција $f(x,y)$ дефинисана и непрекидна у области $G=\{(x,y)|\ x \in [a,b],\ y \in [\alpha, \beta]\}$ и нека је
$y=\varphi(x)$ решење једначине
$$y'=f(x,y)$$
у неком интервалу $(a,b)$ . Уређена тројка $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$, где је $f(x_0,y_0)$, y ма
којој тачки $(x_0,y_0)$ одређено са $y'(x_0,y_0 )=f(x_0,y_0)$ назива се линијски елемент, а скуп свих линијских елемената је поље праваца те једначине.
Геометријско тумачење диференцијалне једначине $y'=f(x,y)$ говори да тангента графика решења $y=\varphi(x)$ у ма којој његовој тачки $(x_0,y_0)$ има коефицијент правца $f(x_0,y_0)$.
За решење са овом особином кажемо да је сагласно са пољем праваца одређених једначином $y'=f(x,y)$.
Скуп свих кривих сагласних са пољем праваца је опште решење дате једначине.
Решење једначине које пролази кроз тачку $(x_0,y_0)$ је њено партикуларно решење.
Кошијев проблем $y'=f(x,y),\ y(x_0)=y_0$ геометријски можемо формулисати као захтев да се одреди интегрална крива једначине $y'=f(x,y)$ која пролази задатом тачком $(x_0,y_0)$.
Дакле, решити диференцијалну једначину првог реда са геометријског становишта значи
наћи све криве чији су графици сагласни са пољем праваца.
- Следећи аплет приказује поље праваца за једначину коју корисник унесе и црта интегралну криву која пролази кроз дату тачку