Теореме о егзистенцији и јединствености решења Кошијевог проблема
Основно питање теорије диференцијалних једначина првог реда је под којим условима за функцију $f(x,y)$, дефинисану у области
$$P=\{(x,y)|(x,y)\in \mathbf{R^2},\ |x-x_0|\leqslant a,\ |y-y_0|\leqslant b\},$$
постоји решење почетног проблема
$$y'=f(x,y), \quad y(x_0)=y_0.$$
У тој области важи
$$x_0-a\leqslant x \leqslant x_0+a,\ y_0-b \leqslant y \leqslant y_0+b$$
па је $P$ затворени правоугаоник чије је средиште тачка $(x_0,y_0)$.
То решење је диференцијабилна функција $y=y(x)$ таква да за свако $x$ из неког интервала $(x_0-\alpha, x_0+\alpha)$, где је
$$\alpha=min\Bigg\{a, \frac{b}{M}\Bigg\}, \quad M=max|f(x,y)|, \ (x,y)\in P,$$
важи:
$$y'(x)=f(x,y(x)),\quad (x,y(x))\in {P},\quad y(x_0)=y_0.$$
- Илустрација решења Кошијевог проблема на правоугаонику $P$
Следеће теореме дају услове за постојање, односно јединственост решења Кошијевог проблема за диференцијалну једначину првог реда.
Теорема 1.(Пеанова теорема) Нека је дат Кошијев проблем $$y'=f(x,y), \quad y(x_0)=y_0.$$ Ако је функција $f$ непрекидна на правоугаонику $$P=\{(x,y)|(x,y)\in \mathbf{R^2},\ |x-x_0|\leqslant a,\ |y-y_0|\leqslant b\},$$ тада постоји бар једно решење датог Кошијевог проблема над интервалом $(x_0-\alpha, x_0+\alpha)$ где је $$\alpha=min\Bigg\{a, \frac{b}{M}\Bigg\}, \quad M=max|f(x,y)|, \ (x,y)\in P$$
Теорема 2. (Пикарова теорема) Нека је дат Кошијев проблем $$y'=f(x,y), \quad y(x_0)=y_0.$$ Ако је функција $f$ непрекидна на правоугаонику $$P=\{(x,y)|(x,y)\in \mathbf{R^2},\ |x-x_0|\leqslant a,\ |y-y_0|\leqslant b\},$$ и ако је њен први парцијални извод по $y$ ограничен, тј. постоји $K>0$ тако да је за свако $(x,y)\in P$ $$\Bigg|\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\Bigg|\leqslant {K}$$ тада постоји јединствено решење датог Кошијевог проблема над интервалом $(x_0-\alpha, x_0+\alpha)$ где је $$\alpha=min\Bigg\{a, \frac{b}{M}\Bigg\}, \quad M=max|f(x,y)|, \ (x,y)\in P.$$
Поред Пикарове теореме о јединствености решења, постоји и општија теорема о јединствености решења Кошијевог проблема. За њену формулацију потребно је прво да дефинишемо Липшицов услов за функцију дефинисану на правоугаонику.
Дефиниција 9. За фунцкију две променљиве $f:P\longrightarrow \mathbf{R}$, где је $P$ правоугаоник дат са $$P=\{(x,y)|(x,y)\in \mathbf{R^2},\ |x-x_0|\leqslant a,\ |y-y_0|\leqslant b\},$$ кажемо да задовољава Липшицов услов на правоугаонику $P$ по променљивој $y$ ако постоји број $L$ тако да за сваке две тачке $(x,y_1)$ и $(x,y_2)$ из $P$ важи $$|f(x,y_2)-f(x,y_1)|\leqslant L \cdot|y_2-y_1|.$$
На основу Лагранжове теореме о средњој вредности следи да ако функција $f$ има ограничен први парцијални извод по $y$ на $P$, тада она задовољава Липшицов услов на $P$ по променљивој $y$, па важи следећа општија теорема.
Теорема 3. Нека је дат Кошијев проблем $$y'=f(x,y), \quad y(x_0)=y_0.$$ Ако је функција $f$ непрекидна на правоугаонику $$P=\{(x,y)|(x,y)\in \mathbf{R^2},\ |x-x_0|\leqslant a,\ |y-y_0|\leqslant b\},$$ и ако $f$ задовољава Липшицов услов на $P$ по променљивој $y$, тада постоји јединствено решење датог Кошијевог проблема над интервалом $(x_0-\alpha, x_0+\alpha)$ где је $$\alpha=min\Bigg\{a, \frac{b}{M}\Bigg\}, \quad M=max|f(x,y)|, \ (x,y)\in P.$$