Диференцијалне једначине

1. Диференцијалну једначину коју задовољава цена производа можемо записати у облику $$\frac{dp}{10-0.5p}=dt$$ и то је диференцијална једначина која раздваја променљиве.
   Након интеграције $$\int{\frac{dp}{10-0.5p}}=\int{dt}$$ добијамо $$\ln |10-0.5p|=-0.5t+C_2,$$ односно $$10-0.5p=C_1\cdot e^{-0.5t},$$ где је $C_1=\pm e^{C_2}$.
   Након сређивања претходне једнакости добијамо да је $$p(t)=20-Ce^{-0.5t},$$ при чему је $C=e^{C_1}$.
   Израчунајмо сада равнотежну цену $\overline{p}$ као $$\overline{p}=\lim_{t\to \infty}{p(t)}=\lim_{t \to \infty}{(20-\frac{C}{e^{\, 0.5t}})}=20.$$
   Дакле, полазна диференцијална једначина се може записати у облику $$\frac{dp}{dt}=0.5(20-p)$$ одакле се може закључити да је стопа промене цене $p$, с обзиром на време $t$, пропорционална разлици између њене тренутне вредности и граничне вредности 20.
   Из тог разлога се каже да ова диференцијална једначина представља закон ограниченог раста
2. Из датих почетних услова одредићемо тражена партикуларна решења.

   $$\begin{array}{lllll} p(0)=40\\ p(0)=20-C\\ 40=20-C\\ C=20\\ p(t)=20+20e^{\, -0.5t} \end{array}$$

   $$\begin{array}{lllll} p(0)=10\\ p(0)=20-C\\ 10=20-C\\ C=10\\ p(t)=20-10e^{\, -0.5t} \end{array}$$

   $$\begin{array}{lllll} p(0)=20\\ p(0)=20-C\\ 20=20-C\\ C=0\\ p(t)=20 \end{array}$$

   • Графички приказ тражених партикуларних решења
   
   Ovo je Java Applet napravljen u GeoGebri sa www.geogebra.org - izgleda da nemate instaliranu Javu; molim otvorite www.java.com
   
3. Како је равнотежна цена $\overline{p}=20$, видимо да она не зависи од константе $C$, нити од броја $p(0)$ који представља почетну вредност функције цене.
   На основу претходног аплета, где су приказана партикуларна решења за дате почетне услове, може се закључити следеће:
   • ако је $p(0) > \overline{p}$, онда цена опада и има граничну вредност $\overline{p}.$
   • ако је $p(0) < \overline{p}$, онда цена расте и такође има граничну вредност $\overline{p}$.
   • ако је $p(0)= \overline{p}$, тада цена остаје стална и не зависи од времена $t$.

Затвори решење.

Из услова задатка је стопа раста популације, односно $\frac{\displaystyle{dN}}{\displaystyle{dt}}$, пропорционална са $N(t)$, при чему коефицијент пропорционалности $k$ налазимо из услова дуплирања популације.
Дати проблем можемо представити математичким моделом диференцијалне једначине облика $$\frac{dN}{dt}=kN(t)\ ,\quad N(0)=N_0.$$ Ово је једначина која раздваја променљиве $$\frac{dN}{N(t)}=kdt\quad \Big/ \ \int{}$$ Након интеграције имаћемо $$\ln |N(t)|=kt+C_1\quad \Rightarrow \quad N(t)=Ce^{\, kt},$$ где је $C=\pm\, e^{C_1}$.

Из почетног услова $N(0)=N_0$ следи да је $C=N_0$, па је решење облика $$N(t)=N_0e^{\, kt}.$$

1. Како се једна популација бактерија дуплира за $24\ h$, имаћемо да је $$N(24)=2N_0\quad \Rightarrow \quad N_0e^{\, \displaystyle{24k}}=2N_0,$$ $$e^{\, \displaystyle{24k}}=2\quad \Big/\ \ln$$ $$24k=\ln 2\quad \Rightarrow \quad k=\frac{\ln 2}{24}=0.029.$$ Дакле, одредили смо коефицијент пропорционалности $k=0.029$.
   Сада треба одредити колико је времена потребно да се популација увећа 10 пута, односно да нађемо $t_1$ такво да је $$N(t_1)=10N(0)=10N_0\quad \Rightarrow \quad N_0e^{\, \displaystyle{t_1k}}=10N_0,$$ $$e^{\, \displaystyle{t_1k}}=10 \quad \Big/\ \ln $$ $$t_1k=\ln 10 \quad \Rightarrow \quad t_1=\frac{\ln 10}{k}=24\frac{\ln 10}{\ln 2}=79,726 h.$$ Дакле, потребно је 79,726 h $\thickapprox$ 3 дана 7 сати 44 минута.
2. У овом случају треба одредити време $t_2$ потребно да број јединки популације буде једнак $\frac{\displaystyle{N_0}}{\displaystyle{2}}$, односно $$N(t_2)=\frac{N_0}{2}.$$
Како је $N(t)=N_0e^{\,\displaystyle{ kt}}$ и $k=-2$ имаћемо да је $$N(t_2)=N_0e^{\, \displaystyle{-2t_2}}=\frac{N_0}{2},$$ $$e^{\, \displaystyle{-2t_2}}=\frac{1}{2}\ \Big / \ln$$ $$-2t_2=-\ln 2\quad \Rightarrow \quad t_2=\frac{\ln 2}{2}=0.347.$$

• Илустрација експоненцијалног раста и распадања популације бактерија

Ovo je Java Applet napravljen u GeoGebri sa www.geogebra.org - izgleda da nemate instaliranu Javu; molim otvorite www.java.com


Затвори решење.

Означимо са $H(t)$ количину нерастворене хемикалије у грамима у тренутку $t$. Нека је $k$ коефицијент пропорционалности.
Ако је убачено $40$ грама, у тренутку $t$ ће бити растворено $40-H(t)$. Дакле, према услову задатка, биће $$\begin{array}{ccccc} \frac{dH}{dt}=kH(t)\Bigg(\frac{60}{100}+\frac{40-H(t)}{100}\Bigg)\\ \\ \Leftrightarrow\\ \\ \frac{dH}{dt}=kH(t)\Bigg(\frac{1}{5}+\frac{H(t)}{100}\Bigg) \end{array} $$ У задатку нам је још дато да је $H(0)=40$ и $H(2)=40-10=30$.
Сада се наш проблем своди на решавање почетног проблема диференцијалне једначине која раздваја променљиве $$\frac{dH}{H(t)(20+H(t))}=\frac{k}{100}dt.$$ Након интеграције леве и десне стране добијамо $$\ln \Bigg|\frac{H(t)}{H(t)+20}\Bigg|=\frac{k}{20}(t+C)\quad \Bigg /\ e$$ $$\frac{H(t)}{H(t)+20}=\displaystyle{e^{\frac{k}{5}(t+C)}}.$$ Сређивањем последње једнакости добијамо $$\frac{H(t)}{H(t)+20}=\frac{1}{e^{-\frac{k}{5}(t+C)}}\quad \Rightarrow \quad H(t)=\frac{20}{e^{-\frac{k}{5}(t+C)}-1}.$$ Заменом почетних услова $H(0)=40$ и $H(2)=30$ у ову једнакост добијамо систем од две једначине са две непознате $$\begin{array}{ll} kC=-5\ln \frac{3}{2}\\ k(2+C)=-5\ln \frac{5}{3} \end{array}$$ Решавањем система добијамо вредност коефицијента пропорционалности $k$ и константе $C$: $$k=\frac{5}{2}\ln \frac{9}{10}\quad \mbox{и}\quad C=2\frac{\ln \frac{\displaystyle{3}}{\displaystyle{2}}}{\ln \frac{\displaystyle{10}}{\displaystyle{9}}}.$$ Заменом добијених вредности у једнакост $$H(t)=\frac{20}{e^{-\frac{k}{5}(t+C)}-1}$$ и сређивањем добијеног израза имаћемо да је $$H(t)=\frac{20}{\frac{3}{2}\Big( \frac{\sqrt{10}}{3} \Big)^t-1}.$$ Након $6$ сати количина нераствореног је $H(6)$, па ће количина растворене хемикалије бити $$40-H(6)=40-\frac{20}{\frac{3}{2}\Big( \frac{\sqrt{10}}{3} \Big)^6-1}=21.09\ \mbox{грама.}$$
Затвори решење.

Из услова задатка имамо $$\begin{array}{} \Delta y_1=k_1y\Delta t\quad \Rightarrow \quad \frac{\Delta y_1}{\Delta t}=k_1y\\ \\ \Delta y_2=k_2t\Delta t\quad \Rightarrow \quad \frac{\Delta y_2}{\Delta t}=k_2t\\ \\ \end{array} $$ Заменом односа прираштаја броја становника и прираштаја одговарајућег времена односима њихових диференцијала добијамо $$\frac{dy_1}{dt}=k_1y,\quad \frac{dy_2}{dt}=k_2t$$ Тада је укупан прираштај $$\frac{dy}{dt}=\frac{dy_1}{dt}+\frac{dy_2}{dt}\quad \Leftrightarrow \quad \frac{dy}{dt}=k_1y+k_2t.$$ Добили смо линеарну диференцијалну једначину првог реда $$y'-k_1y=k_2t$$ Одредимо њено опште решење: $$P(t)=-k_1\quad \Rightarrow \quad I_1=-\int{k_1dt}=-k_1t$$ $$Q(t)=k_2t\quad \Rightarrow \quad I_2=k_2\int{te^{\, -k_1t}dt}.$$ Интеграл $I_2$ ћемо решити парцијалном интеграцијом: $$I_2=\Bigg \lbrace u=t,\ du=dt;\quad dv=e^{\,-k_1t}dt,\ v=-\frac{1}{k_1}e^{\,-k_1t} \Bigg \rbrace=k_2\Bigg(-\frac{t}{k_1}e^{\,-k_1t}+\int{\frac{1}{k_1}e^{\, -k_1t}dt}\Bigg)$$ $$I_2=k_2\Bigg(-\frac{t}{k_1}e^{\,-k_1t}-\frac{1}{k_1^2}e^{\, -k_1t}\Bigg).$$ Опште решење ће бити $$y(t)=e^{\, k_1t}\Bigg(-\frac{k_2t}{k_1}e^{\, -k_1t}-\frac{k_2}{k_1^2}e^{\, -k_1t}+C\Bigg),$$ односно $$y(t)=Ce^{\, k_1t}-\frac{k_2}{k_1^2}(k_1t+1)$$ и то је израз за укупни прираштај становништва.
Из почетног услова $y(0)=y_0$ добијамо да је $$y(0)=C-\frac{k_2}{k_1^2}=y_0\quad \Rightarrow \quad C=y_0+\frac{k_2}{k_1^2}.$$ Заменом вредности константе $C$ у опште решење $y(t)$ биће $$y(t)=(y_0+\frac{k_2}{k_1^2})e^{\, k_1t}-\frac{k_2}{k_1^2}(k_1t+1).$$ Последњи израз даје зависност броја становника града од времена.

Затвори решење.