Видели смо како се за дати оригинал $f(t)$ одређује његова Лапласова трансформација $F(s)$. Сада се поставља питање налажења оригинала $f(t)$, $t\geqslant 0$, за дату слику $F(s)$, односно инверзне Лапласове трансформације функције $F$.
Инверзну Лапласову трансформацију функције $F$ ћемо обележити са $L^{-1}[F(s)]$, ако постоји функција $f$ таква да је
$$f(t)=L^{-1}[F(s)](t),\quad \mbox{за све}\quad t \geqslant 0.$$
Ако је функција $f$ непрекидна на $[0,\infty)$, тада је она и једина непрекидна фунцкија са том особином.
Одређивање оригинала $f(t)$ за дату слику $F(s)$ је доста компликовано у општем случају, али се у неким случајевима комбинацијом раније израчунатих Лапласових трансформација може наћи оригинал $f$ за дату функцију $F$.
Често се користи и следећа формула:
$$L^{-1}\Bigg[\frac{Ks+L}{(s^2+\alpha^2)^2}\Bigg](t)=-\frac{L}{2\alpha^2}t\cos {(\alpha t)}+\frac{K}{2\alpha}t\sin {(\alpha t)}+\frac{L}{2\alpha^3}\sin {(\alpha t)}$$
за $s>0$ и $\alpha >0$, док су $K$ и $L$ произвољне константе.
Пример 3. Одредити инверзну Лапласову трансформацију (,,оргинал") $f(t)$ за дату функцију (,,слику'')
$\displaystyle{F(s)=\frac{s^2}{(s^3-1)^2}}.$
Дату функцију можемо раставити на елементарне разломке
$$F(s)=\frac{s^2}{(s-1)^2(s^2+s+1)^2}=\frac{A}{s-1}+\frac{B}{(s-1)^2}+\frac{Cs+D}{s^2+s+1}+\frac{Es+G}{(s^2+s+1)^2},$$
где константе $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ и $G$ треба одредити. Сабирањем ових разломака и изједначавањем одговарајућих коефицијената, добијамо
$$A=0\ ,\quad B=\frac{1}{9}\ ,\quad C=0\ ,\quad D=-\frac{1}{9}\ ,\quad E=-\frac{1}{3}\ ,\quad G=0,$$
па је полазна функција $F(s)$ облика
$$F(s)=\frac{1}{9(s-1)^2}-\frac{1}{9(s^2+s+1)}-\frac{s}{3(s^2+s+1)^2}.$$
Одредимо сада инверзну Лапласову трансформацију функције $F$.
Користећи линеарност Лапласове трансформације имаћемо
$$f(t)=L^{-1}[F(s)](t)=L^{-1}\Bigg[\frac{1}{9(s-1)^2}\Bigg](t)-L^{-1}\Bigg[\frac{1}{9(s^2+s+1)}\Bigg](t)-L^{-1}\Bigg[\frac{s}{3(s^2+s+1)^2}\Bigg](t),$$
На основу табеле инверзних Лапласових трансформација и особине $\displaystyle{L[e^{\,bt}f(t)](s)=L[f(t)](s-b)}$ добијамо да је
$$L^{-1}\Bigg[\frac{1}{9(s-1)^2}\Bigg](t)=\frac{1}{9}te^t.$$
Како је $\displaystyle{s^2+s+1=\Big(s+\frac{1}{2}\Big)^2+\frac{3}{4}}$ имаћемо
$$L^{-1}\Bigg[\frac{1}{9(s^2+s+1)}\Bigg](t)=\frac{1}{9}L^{-1}\Bigg[\frac{1}{\Big(s+\frac{1}{2}\Big)^2+\Big(\frac{\sqrt{3}}{2}\Big)^2}\Bigg](t)=\frac{1}{9}e^{\, -\frac{t}{2}}\cdot \frac{2\sqrt{3}}{3}\sin {\Bigg(\frac{\sqrt{3}}{2}t\Bigg)}.$$
Остало нам је још да израчунамо
$$L^{-1}\Bigg[\frac{s}{3(s^2+s+1)^2}\Bigg](t)=\frac{1}{3}L^{-1}\Bigg[\frac{s}{\Big(s+\frac{1}{2}\Big)^2+\Big(\frac{\sqrt{3}}{2}\Big)^2}\Bigg](t)$$
и то ћемо израчунати применом формуле
$$L^{-1}\Bigg[\frac{Ks+L}{(s^2+\alpha^2)^2}\Bigg](t)=-\frac{L}{2\alpha^2}t\cos {(\alpha t)}+\frac{K}{2\alpha}t\sin {(\alpha t)}+\frac{L}{2\alpha^3}\sin {(\alpha t)}$$
за $K=1$, $L=0$ и $\alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$
$$\frac{1}{3}L^{-1}\Bigg[\frac{s}{\Big(s+\frac{1}{2}\Big)^2+\Big(\frac{\sqrt{3}}{2}\Big)^2}\Bigg](t)=\frac{1}{3}e^{\, -\frac{t}{2}}\frac{t}{\sqrt{3}}\sin {(\frac{\sqrt{3}}{2}t)}$$
Дакле, инверзна Лапласова трансформација функцијe $F$ је
$$f(t)=\frac{1}{9}t e^t-\frac{\sqrt{3}t}{9}e^{\, -\frac{t}{2}}\sin {\Bigg(\frac{\sqrt{3}}{2}t\Bigg)}-\frac{2\sqrt{3}}{27}e^{\, -\frac{t}{2}}\sin {\Bigg(\frac{\sqrt{3}}{2}t\Bigg)}.$$
Ова функција има Лапласову трансформацију за $s>1$.