Следећи примери илуструју налажење Лапласове трансформације неких функција.
Пример 1. Наћи Лапласову трансформацију фунцкије $f(t)=t^{\, a},$ где је $a$ произвољна константа.
Да бисмо одредили Лапласову трансформацију подсетимо се гама функције $\Gamma$ која се дефинише интегралом
$$\Gamma(y)=\int_{0}^{\infty}{t^{\, y-1}e^{\, -y}dy},\quad (Re(y)>0)$$
Одредимо $\Gamma(a+1)$ за $a>-1$:
$$\Gamma(a+1)=\int_{0}^{\infty}{y^{\, a}e^{\, -y}dy}.$$
Ако ставимо да је $y=st$, $dy=sdt$, тада је
$$\Gamma(a+1)=\int_{0}^{\infty}{s^{\, a+1}t^ae^{\, -st}dt}$$
$$\Rightarrow \quad \frac{\Gamma(a+1)}{s^{\, a+1}}=\int_{0}^{\infty}{t^ae^{\, -st}dt}$$
Како је, по дефиницији,
$$L[t^a](s)=\int_{0}^{\infty}{t^ae^{\, -st}dt}$$
доказали смо да је
$$L[t^a](s)=\frac{\Gamma(a+1)}{s^{\, a+1}},\quad a>-1,\quad s>0.$$
Специјално, ако је $a=n\ (n \in \mathbf {N})$ имамо
$$L[t^n](s)=\frac{\Gamma(n+1)}{s^{\, n+1}}=\frac{n!}{s^{\, n+1}},$$
одакле за $n=0$ добијамо
$$L[1](s)=\frac{1}{s}.$$
Пример 2. Наћи Лапласову трансформацију од $f(t)=e^{\, t}$ и $f(t)=e^{\, at}$.
Лапласова трансформација експоненцијалних функција се налази директно по дефиницији
$$L[e^{\, t}](s)=\int_{0}^{\infty}{e^{\, \displaystyle{t}}\cdot e^{\, \displaystyle{-st}}dt}=\int_{0}^{\infty}{e^{\, \displaystyle{(1-s)t}}dt}=-\frac{1}{1-s}e^{\, \displaystyle{(1-s)t}}\Big|_{0}^{\infty}=\frac{1}{s-1},\quad s>1$$
Користећи особину $\displaystyle{L[f(kt)](s)=\frac{1}{k}L[f(t)]\Big(\frac{s}{k}\Big)\quad \mbox{за}\quad k>0,}$ добијамо да је
$$L[e^{\, at}](s)=\frac{1}{a}L[e^t]\Big(\frac{s}{a}\Big)=\frac{1}{a}\cdot \frac{1}{\displaystyle{\frac{s}{a}}-1}\quad \Leftrightarrow \quad L[e^{\, at}](s)=\frac{1}{s-a}.$$
Пример 3. Одредити Лапласове трансформације: $L[4e^{\, -2t}](s)$ и $L[(3-6t)e^{\, -2t}](s)$.
Користећи линеарност Лапласове трансформације и резултат из претходног примера да је
$$L[e^{\, at}](s)=\frac{1}{s-a},$$
добијамо Лапласове трансформације датих функција:
$$L[4e^{\, -2t}](s)=4L[e^{\, -2t}](s)=\frac{4}{s+2}.$$
У овом примеру ћемо користити још и следећу особину Лапласове трансформације $L[e^{\,bt}f(t)](s)=L[f(t)](s-b)$.
Тада је
$$L[(3-6t)e^{\, -2t}](s)=3L[e^{\, -2t}](s)-6L[te^{\, -2t}](s)=\frac{3}{s+2}-6L[t](s+2)$$
Израчунајмо Лапласову трансформацију функције $L[t](s+2):$
$$L[t](s+2)=\int_{0}^{\infty}{te^{\, -(s+2)t}dt}=\Bigg\lbrace u=t,\ du=dt;\quad dv=e^{\, -(s+2)t}dt,\ v=-\frac{1}{s+2}e^{\, -(s+2)t}\Bigg\rbrace$$
$$L[t](s+2)=-\frac{t}{s+2}e^{\, -(s+2)t}\Big|_{0}^{\infty}+\frac{1}{s+2}\int_{0}^{\infty}{e^{\, -(s+2)t}dt}=-\frac{1}{(s+2)^2}e^{\, -(s+2)t}\Big|_{0}^{\infty}$$
$$L[t](s+2)=\frac{1}{(s+2)^2}$$
Коначно добијамо да је
$$L[(3-6t)e^{\, -2t}](s)=\frac{3}{s+2}-\frac{6}{(s+2)^2}=\frac{3s+6-6}{(s+2)^2}=\frac{3s}{(s+2)^2}.$$