Дефиниција 8.Кошијев проблем или почетни проблем чини диференцијална једначина
$$y^{(n)}=f(x,\ y,\ y',\ \dots,\ y^{(n-1)}),$$
заједно са почетним условима
$$y(x_0)=y_0,\ y'(x_0)=y_1,\ \dots,\ y^{(n-1)}(x_0)=y_{n-1},$$
где су $x_0,\ y_0,\ y_1,\ \dots,\ y_{n-1}$ дати реални бројеви.
Почетни услови могу бити задати и у случајевима када тражено решење $y=y(x)$ није дефинисано у тачки $x_0$, али је дефинисано у околини тачке $x_0$. У оваквом случају почетне услове за диференцијалну једначину првог реда можемо записати у облику:
$$y(x) \rightarrow \ y_0, \quad \mbox{за} \quad x\rightarrow \ x_0.$$
Овакав услов називамо сингуларним почетним условом, а одговарајући Кошијев проблем
$$y'=f(x,y), \quad y(x)\rightarrow \ y_0, \quad \mbox{за} \quad x\rightarrow \ x_0$$
називамо сингуларним Кошијевим проблемом за диференцијалну једначину првог реда.
Пример 2. Решити следеће Кошијеве проблеме:
a) $y'=1,\quad y(0)=1$;
Дату једначину можемо записати у облику $y'=1 \Leftrightarrow \ \frac{\displaystyle{dy}}{\displaystyle{dx}}=\displaystyle{1} \Leftrightarrow \ dy=dx$
Када интегралимо последњу једнакост добијамо опште решење: $y=x+C,\ C\in \mathbf{R}$.
Коришћењем почетног услова $y(0)=1$ добијамо да је
$1=0+C \Rightarrow \ C=1$
$\Rightarrow$Решење Кошијевог проблема је функција $y=x+1$.
Дату једначину можемо записати у облику $y''=1 \Leftrightarrow \ \frac{\displaystyle{dy'}}{\displaystyle{dx}}=\displaystyle{1} \Leftrightarrow \ dy'=dx$
Када интегралимо последњу једнакост добијамо да је $y'=x+C_1$
$\Rightarrow dy=(x+C_1)dx\Rightarrow \int{dy}=\int{(x+C_1)dx}$
$\Rightarrow y=\frac{\displaystyle{x^2}}{\displaystyle{2}}+\displaystyle{C_1x}+\displaystyle{C_2}$
Из почетног услова $y'(1)=2$ добијамо да је $2=1+C_1 \Rightarrow \ C_1=1$,
а из $y(-1)=1$ добијамо да је $\frac{\displaystyle{1}}{\displaystyle{2}}-C_1+C_2=1$ тј. $\frac{\displaystyle{1}}{\displaystyle{2}}-1+C_2=1$
$\Rightarrow \ C_2=\frac{\displaystyle{3}}{\displaystyle{2}}$
$\Rightarrow$ Решење Кошијевог проблема је функција $y=\frac{\displaystyle{x^2}}{\displaystyle{2}}+\displaystyle{x}+\frac{\displaystyle{3}}{\displaystyle{2}}$.