Дефиниција и основна својства
Дефиниција 1. Нека је функција $f(t)$ интеграбилна за све вредности $t\in [0,\infty)$. Релација
$$L[f(t)](s)=F(s)=\int_{0}^{\infty}{e^{\, -st}f(t)dt},$$
при чему је
$$\int_{0}^{\infty}{e^{\, -st}f(t)dt}=\lim_{T\to \infty}{\int_{0}^{T}{e^{\, -st}f(t)dt}}$$
дефинише нову функцију $F(s)$ реалне или комплексне променљиве $s$ и представља Лапласову трансформацију функције $f(t)$.
Функција $f$ се назива оригинал, а функција $F$, која зависи од променљиве $s$, назива се слика или Лапласова трансформација оригинала $f$.
Следећа теорема даје довољне услове за постојање Лапласове трансформације.
Теорема 1. Ако функција $f \colon [0, \infty) \to \mathbf{R}$ задовољава следећа два услова:
тада интеграл
$$L[f(t)](s)=F(s)=\int_{0}^{\infty}{e^{\, -st}f(t)dt}$$
постоји и апсолутно конвергира за $s>a$.
Биће нам важан инфимум (највеће доње ограничење) свих бројева $a$ из претходне неједнакости, који се назива апсциса конвергенције.
За дату функцију $f$ обележимо инфимум са $\sigma_f$.
Ако је број $s$ мањи од $\sigma_f$, тада је интеграл помоћу кога смо дефинисали Лапласову трансформацију не постоји, а за $s>\sigma_f$, тај интеграл апсолутно конвергира.
Такође, особина слике, односно функције $F$, је да важи $$\lim_{s \to \infty}F(s)=0,$$ па је то потребан услов да би једна функција $F(s)$ била слика, односно Лапласова трансформација неке функције.
Основна својства Лапласове трансформације
На основу особина интеграла, непосредно следи да је Лапласова трансформација збира две функције збир њихових Лапласових трансформација:
$$L[f_1(t)+f_2(t)](s)=\int_{0}^{\infty}{(f_1(t)+f_2(t))e^{\, -st}dt}=\int_{0}^{\infty}{e^{\, -st}f_1(t)dt}+\int_{0}^{\infty}{e^{\, -st}f_2(t)dt}$$
$$L[f_1(t)+f_2(t)](s)=L[f_1(t)](s)+L[f_2(t)](s).$$
при чему функције $f_1$ и $f_2$ задовољавају Теорему 1. која даје довољне услове за постојање Лапласове трансформације.
Такође, Лапласова трансформација функције $cf(t)$, где је $c$ произвољна константа, је:
$$L[cf(t)](s)=\int_{0}^{\infty}{cf(t)e^{\, -st}dt}=c\int_{0}^{\infty}{f(t)e^{\, -st}dt}=cL[f(t)](s).$$
Дакле, Лапласова трансформација је линеарна, односно дефинише један линеарни оператор у простору функција.
Да бисмо показали још једну важну особину Лапласове трансформације, претпоставимо да функција $f$ има непрекидан први извод који је највише експоненцијалног раста, односно
за функцију $f'$ важе услови Теореме 1.. Тада се за $s>a$ парцијалном интеграцијом добија:
$$\int_{0}^{\infty}{e^{\, -st}f'(t)dt}=\Bigg\lbrace{u=e^{\, -st},\ du=-se^{\, -st}};\ dv=f'(t)dt,\ v=f(t)\Bigg\rbrace$$
$$\int_{0}^{\infty}{e^{\, -st}f'(t)dt}=f(t)e^{\, -st}\Big|_{0}^{\infty}+s\int_{0}^{\infty}{e^{\, -st}f(t)dt},$$
односно
$$L[f'(t)](s)=sL[f(t)](s)-f(0).$$
Ова особина се може уопштити тако да за $n\in \mathbf{N}$ важи:
$$L[f^{(n)}(t)](s)=s^nL[f(t)](s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f'(0)-\dots-f^{(n-1)}(0),$$
при чему се претпоставља да $n$-ти извод функције $f$ задовољава услове Теореме 1.
Наведимо још неке особине Лапласове трансформације:
1) $L[e^{\,bt}f(t)](s)=L[f(t)](s-b)\quad \mbox{за} \in \mathbf{R};$
2) $\displaystyle{L[f(kt)](s)=\frac{1}{k}L[f(t)]\Big(\frac{s}{k}\Big)\quad \mbox{за}\quad k>0;}$
3) $\displaystyle{L\Bigg[\int_{0}^{t}{f(u)du}\Bigg](s)=\frac{1}{s}L[f(t)](s);}$
4) $\displaystyle{L[t^{n}f(t)](s)=(-1)^n\frac{d^n}{ds^n}(L[f(t)])(s)} \quad \mbox{за} \quad n\in \mathbf{N},$
при чему се претпоставља да функција $f$ задовољава услове Теореме 1.