Дефиниција 9. Једначина облика
$$x^2y''+xy'+(x^2-\frac{1}{4})y=0$$
се зове Беселова диференцијална једначина реда $\nu=\frac{\displaystyle{1}}{\displaystyle{2}}$.
Сада ћемо размотрити питање налажења решења Беселове једначине.
Ако се уведе нова непозната функција $z=z(x)$ са
$$y(x)=\frac{z(x)}{\sqrt{x}},$$
тада се дата диференцијална једначина
на диференцијалну једначину са константним коефицијентима
$$z''+z=0.$$
Детаљан приказ свођења Беселове једначине на линеарну једначину са константним коефицијентима
Израчунајмо $y'$ и $y''$, при чему је $y(x)=\frac{\displaystyle{z(x)}}{\displaystyle{\sqrt{x}}}$.
$$y'=\frac{z'\sqrt{x}-z\frac{\displaystyle{1}}{\displaystyle{2\sqrt{x}}}}{x}=\frac{2xz'-z}{2x\sqrt{x}},$$
$$y''=\frac{(2z'+2xz''-z')\cdot 2x\sqrt{x}-(2xz'-z)\cdot 3\sqrt{x}}{4x^3}=\frac{2x\sqrt{x}z'+4x^2\sqrt{x}z''-6x\sqrt{x}z'+3z\sqrt{x}}{4x^3}=$$
$$=\frac{4x^2\sqrt{x}z''-4x\sqrt{x}z'+3z\sqrt{x}}{4x^3}$$
Заменом $y$, $y'$ и $y''$ у Беселову диференцијалну једначину
$$x^2y''+xy'+(x^2-\frac{1}{4})y=0,$$
након сређивања, добијамо линеарну диференцијалну једначину са константним коефицијентима $$z''+z=0.$$
Карактеристична једачина добијене диференцијалне једначине је
$$r^2+1=0,$$
па су карактеристични корени $r_1=i$ и $r_2=-i$.
Опште решење ове једначине је
$$z(x)=C_1 \cos x+C_2 \sin x.$$
Када вратимо смену $z(x)=y(x)\cdot \sqrt{x}$ добијамо опште решење Беселове диференцијалне једначине реда $\nu=\frac{\displaystyle{1}}{\displaystyle{2}}$