Диференцијална једначина Чебишева



Дефиниција 8. Једначина $$(1-x^2)y''-xy'+n^2y=0$$ се зове диференцијална једначина Чебишева.

Ако претпоставимо да је $(1-x^2)\neq 0$, тада Чебишеву диференцијалну једначину можемо записати у облику $$y''-\frac{x}{1-x^2}y'+\frac{n^2}{1-x^2}y=0.$$ Сменом $$t(x)=M\cdot\int{\sqrt[n]{A_0(x)}},\quad \mbox{за} \quad n=2\quad \mbox{и}\quad A_0(x)=\frac{\displaystyle{n^2}}{\displaystyle{1-x^2}}$$ добијамо $$t(x)=M\cdot n \int{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx\quad \Leftrightarrow \quad t(x)=-M\cdot n\cdot \arccos x.$$ За $M=-\frac{\displaystyle{1}}{\displaystyle{n}}$ добија се $t(x)=\arccos x$, односно $x=\cos t$.
Тада се полазна диференцијална једначина на линеарну диференцијалну једначину са константним коефицијентима $$y''_t+n^2y=0$$


Карактеристична једначина добијене линеарне једначине је $$r^2+n^2=0$$ па су њени карактеристични корени конјуговано комплексни $r_1=i\cdot n$ и $r_2=-i\cdot n$.
Тада је опште решење облика $$y(t)=C_1 \cos {(nt)}+C_2 \sin {(nt)}$$ односно, када вратимо смену $t=\arccos x$ добијамо опште решење диференцијалне једначине Чебишева
$$y(x)=C_1 \cos {(n \arccos x)}+C_2 \sin {(n \arccos x)}.$$

  • Илустрација решења диференцијалне једначине Чебишева

Ovo je Java Applet napravljen u GeoGebri sa www.geogebra.org - izgleda da nemate instaliranu Javu; molim otvorite www.java.com
           

-Избор тема-