Хомогена линеарна диференцијална једначина
Посматрајмо хомогену линеарну диференцијалну једначину реда $n$
$$y^{(n)}+A_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\dots+A_0(x)y=0.$$
Уведимо у разматрање оператор $L:C^n(D)\rightarrow C(D)$ дефинисан на следећи начин:
$$L(y):=y^{(n)}+A_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\dots+A_0(x)y.$$
Оператор $L$ је линеаран јер задовољава услове:
1) $\ \forall y_1,y_2 \in C^n (D): L(y_1+y_2)=L(y_1)+L(y_2),$
2) $ \ \forall \alpha \in \mathbf{R} \ \forall y\in C^n(D):L(\alpha x)=\alpha L(x).$
Оператор $L$ се често назива линеарни диференцијални оператор реда $n$.
Користећи оператор $L$ једначину
$$y^{(n)}+A_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\dots+A_0(x)y=0$$
можемо записати кратко $L(y)=0.$
Нека су $y_1(x),y_2(x),\dots,y_n(x)$ решења једначине $L(y)=0$. Детерминанту $$W(x) = \left|\begin{array}{llll} y_1(x) & y_2(x) & \dots & y_n(x) \\ y'_1(x) & y'_2(x) & \dots & y'_n(x)\\ \vdots & \vdots & \dots & \vdots \\ {y_1}^{(n-1)}(x) & {y_2}^{(n-1)}(x) & \dots & {y_n}^{(n-1)}(x) \end{array}\right|.$$ називамо детерминантом Вронског (или Вронскијан) од функција $y_1,y_2,\dots,y_n$.
Лема 1. Следећа тврђења су еквивалентна:
1) $\forall x\in \mathbf{D}\,:\, W(x)=0.$
2) $\exists x_0\in \mathbf{D}\,:\, W(x_0)=0.$
3) Решења $y_1(x),y_2(x),\dots,y_n(x)\, , x\in \mathbf{D}$ једначине $L(y)=0$ су линеарно зависна.
Лема 2. Следећа тврђења су еквивалентна:
1) $\forall x\in \mathbf{D}\,:\, W(x)\neq 0.$
2) $\exists x_0\in \mathbf{D}\,:\, W(x_0)\neq 0.$
3) Решења $y_1(x),y_2(x),\dots,y_n(x)\, , x\in \mathbf{D}$ једначине $L(y)=0$ су линеарно независна.
Ако диференцирамо детерминанту $W(x)$ имамо $$W'(x)=W'_1(x)+W'_2(x)+\dots+W'_n(x),$$ где је $W'_i(x)$ детерминанта која настаје из $W(x)$ када се $i$-ти редак диференцира. Можемо уочити да је $W'_i(x)=0,\ i=1,2,\dots,n-1$. Остаје $$W'(x)=W'_n(x),$$ односно, $$W'(x)=\left|\begin{array}{llll} y_1 & y_2 & \dots & y_n \\ y'_1 & y'_2 & \dots & y'_n\\ \vdots & \vdots & \dots & \vdots \\ {y_1}^{(n-2)} & {y_2}^{(n-2)} & \dots & {y_n}^{(n-2)} \\ {y_1}^{(n)} & {y_2}^{(n)} & \dots & {y_n}^{(n)} \end{array}\right|.$$ Како је $L(y_i)=0$, то је $$y_i^{(n)}=-A_{n-1}(x)y_i^{(n-1)}-A_{n-2}(x)y_i^{(n-2)}-\dots-A_0(x)y_i\, ,\ i=1,2,\dots,n.$$ Заменом $y_i^{(n)}$ у $W'(x)$ добијамо $$W'(x)=-A_{n-1}(x)W(x)$$ што након интеграције даје
Лема 3. Једначина $L(y)=0$ има $n$ линеарно независних решења.
Теорема 3. Произвољних $n$ линеарно независних решења једначине $L(y)=0$ образује базу простора решења те једначине.
Уобичајено је да се база простора решења назива фундаменталним системом решења једначине.
На основу претходне теореме важи:
Ако су $y_1,y_2,\dots,y_n$ линеарно независна решења хомогена линеарне диференцијалне једначине $L(y)=0,$ та решења чине фундаментални систем решења те једначинe, па је опште решење дато са