Линеарне диференцијалне једначине са функционалним коефицијентима
Дефиниција 5. Једначину
$$A_n(x)y^{(n)}+A_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\dots+A_0(x)y=f(x)$$
где су $A_n(x),A_{n-1}(x),\dots,A_0(x)$ и $f(x)$ реалне и непрекидне функције на неком интервалу $D$, називамо линеарном диференцијалном једначином реда $n\in \mathbf{N}$.
Посматраћемо само случај $A_n(x)\equiv 1$ за све $x\in D$, односно једначину
$$y^{(n)}+A_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\dots+A_0(x)y=f(x).$$
Ако је $f(x)=0$ за свако $x\in D$, тада се једначина
$$y^{(n)}+A_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\dots+A_0(x)y=0$$
зове хомогена линеарна диференцијална једначина реда $n\in \mathbf{N}$.
Ако је за неко $x\in D$ функција $f(x)\neq 0$, тада за једначину
$$y^{(n)}+A_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\dots+A_0(x)y=f(x)$$
кажемо да је нехомогена линеарна диференцијална једначина реда $n\in \mathbf{N}$.
За диференцијалну једначину
$$y^{(n)}+A_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\dots+A_0(x)y=f(x)$$
реда $n\in \mathbf{N}$ на интервалу $(a,b)$, природно је решење тражити у скупу $C^n (a,b)$, који чине функције које имају $n$-ти непрекидан извод на $(a,b)$.
Следећа теорема даје услове постојања и јединствености решења Кошијевог проблема за линеарну диференцијалну једначину реда $n$.
Теорема 1. Нека су у једначини
$$y^{(n)}+A_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\dots+A_0(x)y=f(x)$$
функције $A_i(x),\ i=0,1,\dots,n-1,$ и $f$ непрекидне на интервалу $(a,b)$ и нека су дати бројеви $x_0\in(a,b)$, и $t_i,\ i=0,1,\dots,n-1$. Тада ова једначина има јединствено решење $y=y(x)$ у скупу $C^{n}(a,b)$, које задовољава почетне услове
$$y(x_0)=t_0,\ y'(x_0)=t_1,\ y''(x_0)=t_2,\ \dots,\ y^{(n-1)}(x_0)=t_{n-1}.$$