Решавање диференцијалних једначина
Дефиниција 3. Функција $y=y(x)$ која је непрекидна и $n$ пута диференцијабилна на интервалу $(a,b)$ је решење диференцијалне једначине $n$-тог реда ако за свако $x\in(a,b)$ важи $$F(x,y,y',y'',\dots,y^{(n)})=0.$$
Пример 1. Решити следеће диференцијалне једначине:
a) $y'=2$; б) $y'=2x$; в) $y''=3x^2$;
Из претходног примера можемо закључити да се у решењима диференцијалних једначина јавља једна или више произвољних константи ($C$,$C_1$,$C_2$). Решење диференцијалне једначине првог реда има једну произвољну константу, док решење једначине другог реда има две произвољне константе, и тако редом.
Дефиниција 4. Интегрална крива диференцијалне једначине је крива која представља графичко решење дате диференцијалне једначине.
Дефиниција 5. Опште решење диференцијалне $$F(x,y,y',y'',\dots,y^{(n)})=0$$ је фамилија кривих у равни која је дефинисана једначином $$y=\phi(x,C_1,C_2,\dots,C_n)\quad \mbox{или}\quad \psi(x,y,C_1,C_2,\dots,C_n)=0,$$
где $y=y(x)$ идентички задовољава полазну једначину, док су $C_1,C_2,\dots, C_n$ произвољне константе.
Напомена: „Произвољне константе“ подразумевају оне вредности $C_1,C_2,\dots, C_n$ за које је функција $y=\phi(x,C_1,C_2,\dots,C_n),$ односно $\psi(x,y,C_1,C_2,\dots,C_n)=0$ дефинисана.
У примеру 1 опште решење одговарајуће диференцијалне једначине је:
a) фамилија паралелних правих (које имају исте коефицијенте правца $k=2$ и различите одсечке на $y$-оси $n=C$);
б) фамилија парабола чија су темена (минимуми) на $y$-оси;
в) фамилија кривих дата са $y=\frac{\displaystyle{x^4}}{\displaystyle{4}}+C_1x+C_2$;
Дефиниција6. Свако појединачно решење диференцијалне једначине $F(x,y,y',y'',\dots,y^{(n)})=0$, које се добија из општег решења при неком конкретном избору његових константи $C_1,C_2,\dots,C_n$, назива се партикуларно решење.
Дефиниција 7. Решење $y=\phi(x)$ диференцијалне једначине $F(x,y,y',y'',\dots,y^{(n)})=0$ je сингуларно решење, ако кроз било коју његову тачку, осим њега, пролази и неко друго решење, које у тој тачки има исту тангенту као и решење $y=\phi(x)$, али се разликује од њега у ма којој околини тачке додира.