Нехомогенa линеарна диференцијална једначина



Дефиниција 4. Једначину облика $$a_ny^{(n)}(x)+a_{n-1}y^{(n-1)}(x)+\dots+a_0y(x)=f(x)$$ где су $a_0,a_1,\dots,a_n \in \mathbf{R}$ називамо нехомогеном линеарном диференцијалном једначином $n$-тог реда са константним коефицијентима.

Опште решење ове једначине можемо тражити у облику

$$y(x)=y_h(x)+y_p(x),$$
где је $y_h$ опште решење одговарајуће хомогене диференцијалне једначине $a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\dots+a_0y=0,$ док је $y_p$ партикуларно решење полазне диференцијалне једначине, које је зависи од функције $f$ на десној страни једначине.

У неким случајевима се унапред може знати облик партикуларног решења и тада се оно одређује методом неодређених коефицијената.

  1. 1) Нека је функција $f$ облика $f(x)=e^{\,lx}P_n(x),$ где је $P_n$ полином $n$-тог степена и $l$ реалан број.

    • 1.1) Ако $l$ није корен карактеристичне једначине $P(r)=0$, тада је партикуларно решење диференцијалне једначине облика
      $$y_p(x)=e^{\,lx}Q_n(x),$$
      где је $Q_n$ полином $n$-тог степена са неодређеним коефицијентима.
      Полином $Q_n$ се одређује на основу услова да је $y_p(x)=e^{\,lx}Q_n(x)$ решење диференцијалне једначине $a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\dots+a_0y=f(x)$.
      Дакле, потребно је наћи изводе $y'_p,y''_p,\dots,y^{(n)}_p$ и њих и функцију $y_p$ заменити у ову једначину, а затим одатле одредити непознате коефицијенте полинома $Q_n$, изједначавањем коефицијената уз исте степене променљиве $x$.

    • 1.2) Ако $l$ јесте корен карактеристичне једначине $P(r)=0$, тада је партикуларно решење облика
      $$y_p(x)=x^{k}e^{\,lx}Q_n(x),$$
      где је $k$ вишеструкост корена $l$, док је $Q_n$ полином степена $n$ са неодређеним коефицијентима. Коефицијенте овог полинома одређујемо као у претходном случају.

  2. 2) Нека је функција $f$ облика $f(x)=e^{\,lx}(P_s(x)\cos {bx}+Q_t(x)\sin {bx}),$ где су $P_s$ и $Q_t$ полиноми степена $s$ и $t$ респективно.

    • 2.1) Ако $z_1=l+ib$ и $z_2=l-ib$ нису решења карактеристичне једначине $P(r)=0$, тада је партикуларно решење облика
      $$y_p(x)=e^{\,lx}(R_n(x)\cos {bx}+S_n(x) \sin {bx}),$$
      где су $R_n$ и $S_n$ полиноми степена $n=max(s,t)$ са неодређеним коефицијентима. Коефицијенте одређујемо као у случају 1.

    • 2.2) Ако су $z_1=l+ib$ и $z_2=l-ib$ решења карактеристичне једначине $P(r)=0$, тада је партикуларно решење облика
      $$y_p(x)=x^ke^{\,lx}(R_n(x)\cos {bx}+S_n(x) \sin {bx}),$$
      где је $k$ вишеструкост корена $z_1$ (и $z_2$), док су $R_n$ и $S_n$ полиноми степена $n=max(s,t)$ са неодређеним коефицијентима. Коефицијенте одређујемо као у случају 1.


Постоји још један начин за одређивање партикуларног решења нехомогене диференцијалне једначине $n$-тог реда.
Ако је у диференцијалној једначини $$a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\dots+a_0y=f(x)$$ функција $f$ облика $$f(x)=f_1(x)+f_2(x)+\dots+f_k(x)$$ где су функције $f_i,\ i=1,2,\dots,k$ једног од облика из случајева 1. и 2., тада се поступа на следећи начин. Одређује се партикуларно решење $y_{pi}$ диференцијалне једначине $$a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\dots+a_0y=f_i(x),\quad i=1,2,\dots,k.$$ Тада је партикуларно решење $y_p$ полазне диференцијалне једначине облика

$$y_p=y_{p1}+y_{p2}+\dots+y_{pk}.$$




-Избор тема-