Хомогена линеарна диференцијална једначина
Дефиниција 2. Једначину облика
$$a_ny^{(n)}(x)+a_{n-1}y^{(n-1)}(x)+\dots+a_0y(x)=0$$
где су $a_0,a_1,\dots,a_n \in \mathbf{R}$ називамо хомогеном линеарном диференцијалном једначином $n$-тог реда са константним коефицијентима.
Одредимо линеарно независна решења $y_1,y_2,\dots,y_n$ ове једначине.
Дефиниција 3.
Функције $y_1,y_2,\dots,y_n$ називамо линеарно независним на домену $D$, ако из
$$C_1 y_1(x)+C_2 y_2(x)+\dots+C_n y_n(x)\equiv 0,$$
где су $C_1,C_2,\dots,C_n\in \mathbf{R}$, следи $C_1=C_2=\dots=C_n=0$.
Функције које нису линеарно независне називамо линеарно зависним.
Решења ћемо, према Ојлеру, потражити у облику
$$\displaystyle{y(x)}=\displaystyle{e}^{\displaystyle{\,rx}},\quad r\in \mathbf{R}\ \mbox{или}\ r\in \mathbf{C}.$$
Изводи ове функције су
$$\displaystyle{y^{(k)}}(x)=\displaystyle{r^k} \displaystyle{e}^{\displaystyle{\,rx}},\quad k=1,2,\dots,n.$$
Заменом $y(x), y'(x),\dots, y^{(n)}(x)$ у полазну једначину добија се
$$e^{rx}(a_nr^n+a_{n-1}r^{(n-1)}+\dots+a_1r+a_0)=0.$$
Да би функција $\displaystyle{y(x)}=\displaystyle{e}^{\displaystyle{rx}}$ била решење полазне једначине мора бити
$$a_nr^n+a_{n-1}r^{(n-1)}+\dots+a_1r+a_0=0,$$
односно,
$$P(r)=0,\quad P(r):=a_nr^n+a_{n-1}r^{(n-1)}+\dots+a_1r+a_0.$$
Добијена алгебарска једначина по $r$ се назива карактеристична једначина, а њена решења су карактеристични корени диференцијалне једначине
$$a_ny^{(n)}(x)+a_{n-1}y^{(n-1)}(x)+\dots+a_0y(x)=0$$.
Основни став алгебре нам каже да су сви корени алгебарске једначине $P(r)=0$ степена $n$ реални или комплексни бројеви и да их има тачно $n$, међу којима може бити и једнаких.
У зависности од природе карактеристичних корена разликујемо следећа два случаја:
I Реални карактеристични корени
Нека је $r$ реални карактеристични корен вишеструкости $k$. Њему одговарају линеарно независна партикуларна решења полазне једначине
II Комплексни карактеристични корени
Нека је $r_1=a+ib,\ b\neq0$ један комплексан корен карактеристичне једначине $P(r)=0$ вишеструкости $l$. Тада је и њему конјугован комплексан број $r_2=a-ib$ такође корен исте једначине исте вишеструкости $l$. Овим карактеристичним коренима одговарају следећа линеарно независна партикуларна решења
Овде смо користили да је $$e^{(a+ib)x}=e^{ax}\cdot e^{ibx}=e^{ax} \cos {bx}+i e^{ax}\sin {bx}.$$
Формирајући за сваки карактеристични корен, према правилу $I$ и $II$, линеарно независна партикуларна решења, добијамо фундаментални систем решења полазне једначине.
Дакле, опште решење хомогене линеарне диференцијалне једначине реда $n$ је линеарна комбинација решења фундаменталног система.
Посматрајмо хомогену диференцијалну једначину II реда $$a_2y''(x)+a_1y'(x)+a_0y(x)=0$$ тада у зависности од решења карактеристичне једначине $$a_2r^2+a_1r+a_0=0$$ имамо следеће облике општих решења дате једначине:
- Нека су корени карактеристичне једначине реални и различити и означимо их са $r_1$ и $r_2$. Тада је опште решење
$$y(x)=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}.$$
- Нека су корени карактеристичне једначине реални и једнаки и означимо их са $r_1$. Тада је опште решење
$$y(x)=C_1e^{r_1x}+C_2xe^{r_1x}.$$
- Нека су корени карактеристичне једначине конјуговано комплексни бројеви $r_1=a+ib$ и $r_2=a-ib$. Тада је опште решење
$$y(x)=e^{ax}(C_1 \cos{bx}+C_2 \sin{bx}).$$