Клероова диференцијална једначина
Дефиниција 9. Клероова диференцијална једначина је једначина
$$y=xy'+K(y')\quad \mbox{или} \quad y=xp+K(p),$$
где је $y'=p$ параметар, а $K$ дата функција.
Клероова диференцијална једначина је специјални случај Лагранжове диференцијалне једначине.
Ако Клероову једначину диференцирамо по $x$, добија се
$$\frac{dy}{dx}=p=p+x\frac{dp}{dx}+K'(p)\frac{dp}{dx}\quad \Leftrightarrow \quad 0=(x+K'(p))\frac{dp}{dx}.$$
Приликом решавања једначине
$$(x+K'(p))\frac{dp}{dx}=0$$
разликујемо два случаја:
а) Ако је $\frac{\displaystyle{dp}}{\displaystyle{dx}}=0$ следи $p=C$, што заменом у полазну једначину $y=xp+K(p)$ даје опште решење Клероове диференцијалне једначине
$$y=Cx+K(C).$$
На овај начин је добијена фамилија правих која зависи од једног параметра.
б) Ако се једначина $x+K'(p)=0$ може решити по $p$, односно ако постоји функција $\psi=\psi(x)$ таква да је $p=\psi(x)$ решење једначине $x+K'(p)=0$, тада је
$$y=x\psi(x)+K(\psi(x)),$$
сингуларно решење Клероове диференцијалне једначине.