Лагранжова диференцијална једначина
Дефиниција 8. Лагранжова диференцијална једначина је једначина облика
$$y=xL_1(y')+L_2(y')\quad \mbox{или} \quad y=xL_1(p)+L_2(p),$$
где је $p=y'$, а $L_1$ и $L_2$ дате функције.
Како је $y'=p$ следи да је $dy=pdx$, па диференцирањем Лагранжове једначине добијамо
$$pdx=L_1(p)dx+xL'_1(p)dp+L'_2(p)dp \Leftrightarrow dx(p-L_1(p))-L'_1(p)xdp=L'_2(p)dp$$
Ако претпоставимо да је $p-L_1(p)\neq 0$, следи да је
$$\frac{dx}{dp}=\frac{L'_1(p)}{p-L_1(p)}x+\frac{L'_2(p)}{p-L_1(p)}.$$
Ова функција је линеарна по $x$ (јер је $x$ функција од $p$), па је можемо записати у облику
$$x'-\frac{L'_1(p)}{p-L_1(p)}x=\frac{L'_2(p)}{p-L_1(p)}$$
и њено опште решење је облика
$$x=CM(p)+N(p)$$
где су $M$ и $N$ функције које треба одредити решавањем ове линеарне диференцијалне једначине.
Заменом у полазну једначину добијамо опште решење Лагранжове диференцијалне једначине
Ако је, за неко $p=p_0, p-L_1(p)=0$, тада је сингуларно решење једначине $y=xL_1(y')+L_2(y')$ дато са
Ако је $L_1(p)-p\equiv 0$, тада се полазна једначина зове Клероова диференцијална једначина.