Диференцијалне једначине

Диференцијалне једначине првог реда вишег степена

Дефиниција 7. Посматрајмо посебан облик диференцијалне једначине првог реда $$(y')^n+f_{n-1}(x,y)(y')^{n-1}+ \ \dots\ +f_1(x,y)y'+f_0(x,y)=0,$$ где су $f_j,\ j=0,1,\dots,n-1$ дате функције. Ова једначина се тада зове диференцијална једначина првог реда степена $n,\ n\neq1$.

Претпоставимо да се лева страна једначине може разложити на факторе $$\big(y'-\varphi_1(x,y)\big)\cdot\big(y'-\varphi_2(x,y)\big)\cdot\ \dots \ \cdot\big(y'-\varphi_n(x,y)\big)=0,$$ где су $\varphi_j,\ j=1,\dots, n$ познате функције. Тада је једначина $$(y')^n+f_{n-1}(x,y)(y')^{n-1}+\ \dots \ +f_1(x,y)y'+f_0(x,y)=0$$ еквивалентна са дисјункцијом $n$ једначина $$y'=\varphi_1(x,y)\quad \bigvee \quad y'=\varphi_2(x,y)\quad \bigvee \quad \dots \quad \bigvee \quad y'=\varphi_n(x,y).$$ Ако означимо опште решење $j$-те једначине са $\psi_j(x,y,C)=0$ тада се опште решење полазне једначине $$(y')^n+f_{n-1}(x,y)(y')^{n-1}+ \ \dots\ +f_1(x,y)y'+f_0(x,y)=0$$ може написати у облику производа