Интеграциони фактор
Опште решење диференцијалне једначине са тоталним диференцијалом се увек може одредити. Зато се јавља идеја трансформације било које диференцијалне једначине
првог реда у диференцијалну једначину са тоталним диференцијалом.
Нека је дата једначина
$$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,$$
где су функције $P$ и $Q$ непрекидне и имају непрекидне прве парцијалне изводе на отвореном правоугаонику $D$, и ако на $D$ важи
$$\frac{\partial}{\partial y}P(x,y)\neq\frac{\partial}{\partial x}Q(x,y),$$
тада ова једначина није једначина тоталног диференцијала.
Понекад је могуће пронаћи функцију $M=M(x,y)$ која је дефинисана и непрекидна заједно са својим парцијалним изводима првог реда на $D$ тако да
$$M(x,y)P(x,y)dx+M(x,y)Q(x,y)dy=0$$
буде диференцијална једначина тоталног диференцијала.
Функцију $M(x,y)$ зовемо интеграциони фактор једначине $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0.$
Налажење интеграционог фактора у општем случају може бити јако компликовано, али у појединим случајевима он се може лако одредити.
1) Ако израз
$$\frac{1}{Q(x,y)}\bigg(\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}-\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}\bigg)$$
зависи само од променљиве $x$, тада интеграциони фактор одређујемо по формули
$$M(x)=e^{\int{F(x)dx}}.$$
2) Ако израз
$$\frac{1}{P(x,y)}\bigg(\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}-\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}\bigg)$$
зависи само од променљиве $y$, тада интеграциони фактор одређујемо по формули
$$M(y)=e^{-\int{G(y)dy}}.$$
3) Ако једначина
$$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$$
није једначина тоталног диференцијала, али је хомогена и важи
$$xP(x,y)+yQ(x,y)\neq 0,$$
тада је интеграциони фактор
$M=M(x,y)$ одређен формулом
$$M(x,y)=\frac{1}{xP(x,y)+yQ(x,y)}.$$
4) Ако једначина
$$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$$
није једначина тоталног диференцијала, али се може записати у облику
$$yf(xy)dx+xg(xy)dy=0,$$
где је $f(t)\neq g(t)$ (за све $t$ из неког интервала$(a,b)$), тада је интеграциони фактор
$M=M(x,y)$ одређен формулом
$$M(x,y)=\frac{1}{xy(f(xy)-g(xy))}=\frac{1}{xP(x,y)-yQ(x,y)}.$$
Када одредимо интеграциони фактор тада можемо наћи опште решење диферeнцијалне једначине
$$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$$
на следећи начин:
$$dU(x,y)=M(x,y)(P(x,y)dx+Q(x,y)dy)$$
$$\Rightarrow \frac{dU(x,y)}{M(x,y)}=0$$
$$\Rightarrow dU(x,y)=0 \Rightarrow U(x,y)=C,$$
где је $C$ произвољна константа.
Евентуална сингуларна решења тражимо у облику
$$\frac{1}{M(x,y)}=0.$$
Постоји још један специјални случај за одређивање општег решења полазне диференцијалне једначине.
Ако су $M_1(x,y)$ и $M_2(x,y)$ два интеграциона фактора и $M_1(x,y) \neq M_2(x,y)$ тада је опште решење облика
$$\frac{M_2(x,y)}{M_1(x,y)}=C,$$
где је $C$ произвољна константа.