Диференцијални рачун
Почетна страна »
Функције »
Низови »
Гранична вредност »
Непрекидност функције »
Изводи »
• Дефиниција »
• Правила »
• Диференцијал »
•Геометријско тумачење »
• Изводи вишег реда »
Примена извода »
Јована Јездимировић,
Универзитет у Београду, Математички факултет
Изводи
Појам извода се појавио још у 17-ом веку у вези са неравномерним кретањем.
Помоћу извода је било могуће одредити брзину праволинијског кретања као и брзину промена величина које се неравномерно мењају (нпр. брзину промене температуре тела, електричне струје,...).
Посматрамо тело (материјалну тачку) које се праволинијски креће. Нека је
s = f(t), \qquad t \geq 0
функција која описује зависност пређеног пута од почетне тачке P. У тренутку t тело се налази у положају А, а у тренутку t + ∆t у положају B.
Средња брзина тела Vsr на путу AB је једнака:
V_{sr}= \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t + \Delta t) - s(t)}{\Delta t} = \frac { f(t+ \Delta t) - f(t)}{ \Delta t}
Када се временски интервал сужава тј. када ∆t → 0 уочимо да је тренутна брзина тела Vt у тачки А једнака:
V_{t} = \lim_{ \Delta t \to 0} \frac{ \Delta s}{ \Delta t} =
\lim_{ \Delta t \to 0} \frac{s ( t + \Delta t) - s(t)}{ \Delta t} = \lim_{ \Delta t \to 0} \frac{f ( t + \Delta t) - f(t)}{ \Delta t} = f' (t)
aкo oвај лимес постоји.
• Илустрација кретања тела (материјалне тачке) које се праволинијски креће:
Значај извода је сразмеран његовој примени у разним природним наукама. Наведено је неколико таквих примера:
• Брзина хлађења тела у тренутку t је:
\lim_{t \to 0 } \frac{T(t+ \Delta t)-T(t)}{ \Delta t}
Где загрејано тело има температуру T(t + ∆t) и хлади се. Његова температура у тренутку t је T(t).
• Брзина реаговања материје при хемијској реакцији у тренутку t је:
\lim_{t \to 0 } \frac{Q(t+ \Delta t)-Q(t)}{ \Delta t}
Где је Q(t) количина материје у хемијској реакцији у тренутку t.
• Линеарна густина шипке у тачки x је:
\lim_{x \to 0 } \frac{m(x+ \Delta x)-m(x)}{ \Delta x}
Где је m = m(x) маса нехомогене шипке на делу [0, x].