Free CSS Templates

Logaritamska funkcija

Pojam logaritamske funkcije

Definicija
Funkcijom $$f:R \rightarrow R^{+}, R \ni x \rightarrow f(x)=a^{x}=y \in R^{+}$$ ostvaruje se bijektivno preslikavanje skupa $R$ na skup $R^{+}$, pa postoji inverzna funkcija ove funkcije koja je data sa $$f^{-1}:R^{+} \rightarrow R, R^{+} \ni y \rightarrow f^{-1}(y)=log_a{y}=x \in R.$$ Funkcija $$y=log_{a}x, a>0, a \neq 1, x > 0,$$ naziva se logaritamska funkcija.

Logaritamska funkcija je funkcija inverzna eksponencijalnoj funkciji što znači da se te funkcije međusobno poništavaju. Zbog inverznosti funkcija vredi: $\log_{a}a^{x}=x$, za svaki $x$.

Iz relacija navedenih kod eksponencijalne funkcije mogu se izvesti osobine za logaritamsku funkciju:
1. Ona je definisana samo za $x>0$ i svakoj vrednosti $x$ odgovara samo po jedna vrednost $y$. Drugim rečima, svaki pozitivan broj ima samo jedan logaritam. Negativni brojevi nemaju logaritam.
2. Logaritamska funkcija je monotono opadajuća, ako je $0 < a < 1$, a monotono rastuća, ako je $a>1$.
3. Logaritam od jedan je nula za ma koju osnovu, a logaritam od osnove je jedan. To je očigledno iz jednačine $x=a^{y}$, tj
$$1=a^{0}, \log_{a}1=0;$$ $$a=a^{1}, \log_{a}1=0.$$ Isto tako iz jednačine $x=a^{y}$ sledi:
Za $0 < a < 1$, $\log(+0)=+\infty$, $\log1=0$, $\log(+\infty)=-\infty$
Za $a>1$, $\log(+0)=-\infty$, $\log1=0$, $\log(+\infty)=+\infty$

Kada se znaju logaritmi brojeva sa jednom osnovom, mogu se lako dobiti logaritmi tih brojeva sa drugom osnovom. Neka je $x$ ma kakav pozitivan broj i neka su $y$ i $z$ njegovi logaritmi za osnove $a$ i $b$, tj.
$$y=\log_{a}x, z=\log_{b}x$$ tada je $$x=a^{y}=b^{z}.$$ Ako se ova jednačina logaritmuje prvo za osnovu $a$, zatim za osnovu $b$, dobija se
$$\log_{a}x=y=z\log_{a}b=\log_{b}x\cdot\log_{a}b,$$ $$\log_{b}x=z=y\log_{b}a=\log_{a}x\cdot\log_{b}a.$$ Prva jednačina pokazuje kako se dobija logaritam broja $x$ za osnovu $a$, kada se zna logaritam broja $x$ za osnovu $b$. Druga pokazuje kako se dobija logaritam broja $x$ za osnovu $b$, kada se zna logaritam broja $x$ za osnovu $a$. U prvom slučaju traba znati $\log_{a}b$ a u drugom $\log_{b}a$. Međutim dovoljno je poznavati jedan od ova dva logaritma, jer se množenjem dobija
$$1=\log_{b}a\cdot\log_{a}b.$$ Broj
$$\log_{a}b=\frac{1}{\log_{b}a}$$ zove se moduo prelaza logaritma sa osnovom $b$ na logaritme sa osnovom $a$, a broj
$$\log_{b}a=\frac{1}{\log_{a}b}$$ moduo prelaza logaritma sa osnovom $a$ na logaritme sa osnovom $b$.

Logaritme s bazom $a=10$ nazivamo dekadski ili Briggsov logaritam, a umesto $\log_{10}x$ pišemo $\log x$. Ako je baza $a=e$, takav logaritam nazivamo prirodni ili Napierov logaritam, a umesto $\log_{e}x$ pišemo $\ln x$.
Veza dekadskih i prirodnih logaritama:
$$\log x=\frac{\ln x}{\ln 10}=\frac{1}{\ln 10}\ln x=M\ln x, M=\frac{1}{\ln 10}=\log e=0.4342944819...$$ Funkcija $y=\log x$ je inverzna funkciji $y=10^{x}$, a funkcija $y=\ln x$ inverzna je funkciji $y=e^{x}$.

Pravila za logaritme:
1. $\log_{a}(xy)=\log_{a}x+\log_{a}y$
2. $\log_{a}(\frac{x}{y})=\log_{a}x-\log_{a}y$
3. $\log_{a}x^{y}=y \log_{a}x$
4. $\log_{a}\sqrt[n]{b}=\frac{1}{n}\log_{a}b$
5. $\log_{a}a^{x}=x$
6. $a^{\log_{a}x}=x$