Инверзија

Увод

* Рефлексија и инверзија

Грубо говорећи, инверзија је раванска трансформација која представља уопштење осне рефлексије. Уместо пресликавања тачака с једне стране праве на другу, инверзија пресликава тачке унутар круга на тачке ван круга, и обрнуто.

Подсетимо се да под рефлексијом у односу на праву $l$ , тачка $A$ се пресликава у тачку $А'$ чије је растојање од праве $l$ исто као и растојање тачке $А$ , али је са супротне стране од $l$ у односу на $А$ .

Да бисмо уопштили овај појам рефлексије преформулисаћемо га тако да нам улогу праве

l

има круг

k

.
Дакле, нека је

m

права паралелна са

АA'

која сече праву

l

у тачки

P

. При рефлексији у односу на праву

l

∠

PАА'

се слика у ∠

PA'A

те ова два угла морају бити једнака. Али како су праве

m

AA'

паралелне, ∠

PА'A

је једнак углу између

PA'

m

, па је угао ∠

PАА'

једнак углу између

PA'

m

. Ова чињеница ће нам користити при уопштавању појма осне рефлексије.

Праву

l

можемо замишљати као бесконачно велики круг,а праву

m

као пречник тог круга који садржи тачку

P

. Уколико заменимо праву

l

кругом

k

коначног полупречника, а праву

m

са правом која садржи центар круга

k

и сече круг у тачки

P

, тада по аналогији са рефлексијом можемо дефинисати да слика тачке

А

буде тачка

А'

на полуправој

ОА

за коју је ∠

OPА' =

∠

PАO

. Кажемо да је

А'

тачка инверзна тачки

А

у односу на круг

к

* Наравно, да би ова дефиниција имала смисла морамо проверити да је за дату тачку

А

положај тачке

А'

независан од тачке

P

. Приметимо, да су △

POA'

и △

AOP

слични јер имају заједнички угао у О и ∠

OPА' =

∠

PАO

. Одавде следи

|ОА'| : |ОP|= |ОP| : |ОА|

, па је

|ОА|·|ОА'|= {OP}^{2}

.
Како је

ОP = r

, то је

$|ОА|·|ОА'|= r^{2}$ . (1)

Како постоји тачно једна тачка

А'

на полуправој

ОА

која то задовољава и како претходна релација не зависи од

P

, следи да положај тачке

А'

не зависи од избора тачке

P

. Дакле, дефиниција је коректна.

И ако претходна конструкција илуструје како се инверзија може дефинисати као уопштење рефлексије приметимо да је релација (1) довољна да одредимо тачку

А'

која одговара датој тачки

А

. Ради једноставности на даље ћемо користи релацију (1) као формалну дефиницију инверзије.

* Дефиниција

Нека је $k$ круг са центром $O$ , полупречником $r$ и нека је $A$ произвољна тачка различита од $О$ . Уколико је $А'$ тачка на правој $ОА$ која је са исте стране тачке $О$ као и тачка $А$ и која задовољава релацију

$|ОА|·|ОА'|= r^{2}$
тада тачку $А'$ зовемо инверз тачке $А$ у односу на круг $k$ . Тачка $О$ се назива центар инверзије, а $k$ се назива круг инверзије. Трансформација $ψ_{k}$ дефинисана са $ψ_{k} (А) = А'$ , $А$ ∈ $Е^{2} /{O}$ је инверзија у односу на круг $k$ .

* Примедба

Како је

|ОА|·|ОА'|= r^{2}

различито од 0, то ни

|ОА|

ни

|ОА'|

не могу бити 0, па се ни

А

ни

А'

не могу поклапати са

О

. Зато је тачка

О

искључена из домена пресликавања

ψ_{k}

јер не постоји тачка у коју се она може пресликати. Аналогно, не постоји тачка која се пресликава у О.

* Инверзија је бијективна трансформација на скупу $Е^{2} /{O}$ .
Доказ:
Нека је А,

A_{1}

∈

Е^{2} /{O}

ψ_{k} (А) = ψ_{k} (A_{1}) = А'

. Тада су

А

A_{1}

тачке на правој

ОА'

, такве да је

|ОА|·|ОА'|= r^{2} = 
	|О A_{1} |·|ОА'|

. Одавде следи да је

А

идентички једнако

A_{1}

, па је

ψ_{k}

инјективно пресликавање.
Даље, за сваку тачку

А

∈

Е^{2} /{O}

једнозначно је одређена тачка

А' = ψ_{k} (А)

, таква да је

|OA'| = \frac{|OA|}{r^{2}}

, па је инверзија и сурјективно пресликавање. Дакле, бијекција је.

* Нека је

ψ_{k} (А) = А'

ψ_{k} (А') = А"

, тј.

|ОА|·|ОА'|= r^{2}

|ОА'|·|ОА"|= r^{2}

. Тада је

А = А"

, тј.

ψ_{k} (А) = А'

ψ_{k} (А') = А

, одакле следи да је

ψ_{k}^{2} (A) = A

. Дакле, важи:

* Инверзија је инволутивна трансформација.