Увод

                                Садржај
* Рефлексија и инверзија

  Грубо говорећи, инверзија је раванска трансформација која представља уопштење осне рефлексије. Уместо пресликавања тачака с једне стране праве на другу, инверзија пресликава тачке унутар круга на тачке ван круга, и обрнуто.

Подсетимо се да под рефлексијом у односу на праву l, тачка A се пресликава у тачку А' чије је растојање од праве l исто као и растојање тачке А, али је са супротне стране од l у односу на А.


Да бисмо уопштили овај појам рефлексије преформулисаћемо га тако да нам улогу праве l има круг k.
Дакле, нека је m права паралелна са АA' која сече праву l у тачки P. При рефлексији у односу на праву l
PАА' се слика у ∠PA'A те ова два угла морају бити једнака. Али како су праве m и AA' паралелне, ∠PА'A је једнак углу између PA' и m, па је угао ∠PАА' једнак углу између PA' и m. Ова чињеница ће нам користити при уопштавању појма осне рефлексије.

Праву l можемо замишљати као бесконачно велики круг,а праву m као пречник тог круга који садржи тачку P. Уколико заменимо праву l кругом k коначног полупречника, а праву m са правом која садржи центар круга k и сече круг у тачки P, тада по аналогији са рефлексијом можемо дефинисати да слика тачке А буде тачка А' на полуправој ОА за коју је ∠OPА' = PАO. Кажемо да је А' тачка инверзна тачки А у односу на круг к.

* Наравно, да би ова дефиниција имала смисла морамо проверити да је за дату тачку А положај тачке А' независан од тачке P. Приметимо, да су △POA' и △AOP слични јер имају заједнички угао у О и ∠OPА' = PАO. Одавде следи |ОА'| : |ОP|= |ОP| : |ОА|, па је |ОА|·|ОА'|= OP 2 .
Како је ОP = r, то је

|ОА|·|ОА'|= r 2 .             (1)

Како постоји тачно једна тачка А' на полуправој ОА која то задовољава и како претходна релација не зависи од P, следи да положај тачке А' не зависи од избора тачке P. Дакле, дефиниција је коректна.

И ако претходна конструкција илуструје како се инверзија може дефинисати као уопштење рефлексије приметимо да је релација (1) довољна да одредимо тачку А' која одговара датој тачки А. Ради једноставности на даље ћемо користи релацију (1) као формалну дефиницију инверзије.

* Дефиниција

Нека је k круг са центром O, полупречником r и нека је A произвољна тачка различита од О. Уколико је А' тачка на правој ОА која је са исте стране тачке О као и тачка А и која задовољава релацију

|ОА|·|ОА'|= r 2

тада тачку А' зовемо инверз тачке А у односу на круг k. Тачка О се назива центар инверзије, а k се назива круг инверзије. Трансформација ψk дефинисана са ψk(А) = А', АЕ2/{O} је инверзија у односу на круг k.


* Примедба

Како је |ОА|·|ОА'|= r 2 различито од 0, то ни |ОА| ни |ОА'| не могу бити 0, па се ни А ни А' не могу поклапати са О. Зато је тачка О искључена из домена пресликавања ψk јер не постоји тачка у коју се она може пресликати. Аналогно, не постоји тачка која се пресликава у О.

* Инверзија је бијективна трансформација на скупу Е2/{O}.
Доказ:
Нека је А, A 1 Е2/{O} и ψk(А) = ψk( A 1 ) = А'. Тада су А и A 1 тачке на правој ОА', такве да је
|ОА|·|ОА'|= r 2 = |О A 1 |·|ОА'|. Одавде следи да је А идентички једнако A 1 , па је ψk инјективно пресликавање.
Даље, за сваку тачку АЕ2/{O} једнозначно је одређена тачка А' = ψk(А), таква да је |OA'| = |OA| r 2 , па је инверзија и сурјективно пресликавање. Дакле, бијекција је.

* Нека је ψk(А) = А' и ψk(А') = А", тј. |ОА|·|ОА'|= r 2 и |ОА'|·|ОА"|= r 2 . Тада је А = А", тј. ψk(А) = А' и ψk(А') = А, одакле следи да је ψ k 2 (A) = A. Дакле, важи:

* Инверзија је инволутивна трансформација.

Copyright © Ана Ђурђевац & Mилица Мисојчић